如何合并几何平均值和几何标准差？今天，小师妹问了我这样一个棘手的问题。
算数平均值是 n 个数加起来除以 n，几何平均值是 n 个数乘起来开 n 次方。后者的概念我从前学过，但从来没用过。于是查了一下维基百科:
几何平均数（Geometric mean），是求一组数值的平均数的方法中的一种。适用于对比率数据的平均，并主要用于计算数据平均增长（变化）率。
计算公式是：
\(G = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n}\)
而几何标准差（geometric standard deviation）的解释是这样的：
在机率论与统计学中，几何标准差形容一组数值有多分散，用于当这一组数字理应优先选用的平均数为几何平均数之时。对于这类数据，几何标准差可能优于普通的标准差。留意几何标准差是个乘法因数，因此是无量纲的，而不似普通的算术标准差，与输入数值有同样的量纲。
计算公式：
\(\sigma = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G})^2)}{n}})\)
这里吐槽一下维基百科：同一个量在不同的页面就不能使用同一个符号来表示吗？害得我这个小白费解了半天。
好了，现在我们来合并两组数据的几何平均值和几何标准差。
请听题：
假定：
- 第 1 组数据是 \((x_1, x_2, ... x_n)\), 只知道其几何平均值是 \(G_x\)，几何标准差是 \(\sigma_x\)，数据个数是 n。
- 第 2 组数据是 \((y_1, y_2, ... y_n)\), 只知道其几何平均值是 \(G_y\)，几何标准差是 \(\sigma_y\)，数据个数是 m。
那么，这两组数据的并集 \((x_1, x_2, ... x_n, y_1, y_2, ... y_n)\) 的几何平均值 \(G_{x,y}\) 和几何标准差\(\sigma_{x,y}\)如何计算？
这是一道初中代数题。下面是推导:
几何平均值 \(G_{x,y}\)：
\(G_x = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n} \Rightarrow G_x^n = x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n\) (1)
\(G_y = \sqrt[m]{y_1\cdot y_2 \cdot \cdot \cdot y_m} \Rightarrow G_y^m = y_1\cdot y_2 \cdot \cdot \cdot y_m\) (2)
故并集的几何平均值是：
\(G_{x,y} = \sqrt[n + m]{x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n \cdot y_1\cdot y_2 \cdot \cdot \cdot y_m} = \sqrt[n + m]{G_x^n \cdot G_y^m}\) (3)
几何标准差 \(\sigma_{x,y}\)：
\(\sigma_x = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G_x})^2)}{n}}) \Rightarrow \Sigma(\ln \frac{x_i}{G_x})^2 = (\ln(\sigma_x))^2 \cdot n\) (4)
\(\sigma_y = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{m} (\ln \frac{y_i}{G_y})^2)}{m}}) \Rightarrow \Sigma(\ln \frac{y_i}{G_y}) ^2= (\ln(\sigma_y))^2 \cdot m\) (5)
根据定义：
\(\sigma_{x,y} = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G_x})^2 +\sum_{i = 1}^{m} (\ln \frac{y_i}{G_y})^2)}{n+m}})\) (6)
将 (4) (5) 带入 (6) 即可：
\(\sigma_{x,y} = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G_x})^2 +\sum_{i = 1}^{m} (\ln \frac{y_i}{G_y})^2)}{n+m}}) = \exp \sqrt{\frac{(\ln \sigma_x)^2 \cdot n + (\ln \sigma_y)^2 \cdot m}{n + m}}\) (7)
推导不难，麻烦的是敲公式。
好吧，其实我就是想试试，用 R 语言的 blogdown 写这样一篇带公式的帖子要多久而已。
大约半小时。
在本页的公式上面鼠标点右键，就可以复制公式代码贴到别的地方了。具体方法见这里。
这是让人上瘾的地方：从此以后，不管在哪里，只要输入一个公式，就想通过 blogdown 发布出来，这样将来再用时就不用重录一次了，方便自己也方便他人。
再次吐槽维基百科：他家的公式居然都是图片格式，没法编辑！